数学 A 卷 · 考前终卷

集合与常用逻辑用语 · 不等式 · 函数 · 导数

满分 150 分　建议用时 120 分钟

说明：1. 本卷"递增""递减"均指严格递增、严格递减。2. 解答题须写出必要的推理、计算与分类讨论过程。3. 无特别说明，参数均为实数。答案册在第 6 页起。

一、单项选择题（8 题，每题 5 分，共 40 分）

1. 命题"∃x > 0，x²−x−6 ≤ 0"的否定为（　）。
A. ∃x > 0，x²−x−6 > 0　B. ∃x ≤ 0，x²−x−6 > 0
C. ∀x > 0，x²−x−6 > 0　D. ∀x > 0，x²−x−6 ≤ 0

2. 已知集合 A＝{x | |x−1| < 2}，B＝{x | x²＝1}，则 A∪B＝（　）。
A. {−1，1}　B. (−1，3)　C. [−1，3)　D. [−1，3]

3. 设 x∈ℝ，则"|x−2| < 1"是"x²−5x+6 < 0"的（　）。
A. 充分不必要条件　B. 必要不充分条件　C. 充要条件　D. 既不充分也不必要条件

4. 若函数 f(x) 的定义域为 [−1，3)，则函数 g(x)＝f(x+1)·√(4−2^x) 的定义域为（　）。
A. [−2，2)　B. (−2，2]　C. [−2，2]　D. (−2，2)

5. 若函数 f(x)＝{ (a−2)x，x ≤ 1 ；log₂(x+1)，x > 1 } 在 ℝ 上单调递增，则实数 a 的取值范围为（　）。
A. (2，3]　B. (2，3)　C. (2，+∞)　D. [2，3]

6. 已知定义域为 ℝ 的函数 f(x) 满足 f(1+x)＝f(5−x)，且当 x ≥ 3 时，f(x)＝x²−6x，则曲线 y＝f(x) 在 x＝2 处的切线斜率为（　）。
A. −2　B. 2　C. 4　D. −4

7. 设 a＝log₂3，b＝log₄9，c＝log₃4，则（　）。
A. a＝b > c　B. a > b > c　C. c > a＝b　D. b > c > a

8. 对于函数 f(x)，若存在实数 x₀，使得 f(−x₀)＝−f(x₀)，则称 f(x) 为"类奇函数"。已知 f(x)＝e^x+e^−x+2x+m 是 [−1，1] 上的"类奇函数"，则实数 m 的取值范围为（　）。
A. [−(e+1/e)，−2]　B. (−∞，−2]　C. [−(e+1/e)，+∞)　D. [−2，−(e+1/e)]

二、多项选择题（3 题，每题 6 分，共 18 分）

全部选对得 6 分；只选正确项但未选全得部分分；选入错误项得 0 分。

9. 已知正实数 x，y 满足 x+y＝4，则下列说法正确的是（　）。
A. xy 的最大值为 4
B. 1/x + 1/y 的最小值为 1
C. x²+y² 的最小值为 8
D. 2/x + 8/y 的最小值为 9

10. 已知函数 f(x) 的定义域为 ℝ，对任意 x，y∈ℝ 都有 f(x+y)＝f(x)·f(y)，且当 x > 0 时 0 < f(x) < 1，则（　）。
A. f(0)＝1
B. 对任意 x∈ℝ，f(x) > 0
C. f(x) 在 ℝ 上单调递减
D. 对任意 x∈ℝ，都有 f(x)+f(−x)＝0

11. 已知函数 f(x)＝(2x+a)e^−x（a∈ℝ），则下列说法正确的是（　）。
A. 若 f(x) 在(0，+∞)上单调递减，则 a ≥ 2
B. 若 a＝0，则 f(x) 的最大值为 2/e
C. 当 a＝2 时，方程 f(x)＝m 有两个不等实根，则 0 < m < 2/e
D. 当 a＝0 时，对任意 x∈ℝ 都有 f(x) ≤ 1

三、填空题（3 题，每题 5 分，共 15 分）

12. 若函数 f(x)＝ln[(x+a)/(x−2)] 的图象关于原点对称，则实数 a＝＿＿＿＿＿。

13. 已知 a > 1，b > 1，且 log₂a + log₂b＝3，则 1/a + 4/b 的最小值为＿＿＿＿＿。

14. 若函数 f(x)＝ax + 2/x − ln x（x > 0）存在极小值点，且极小值不小于 5，则实数 a 的最小值为＿＿＿＿＿。

四、解答题（5 题，共 77 分）

15.（13 分）

已知集合 A＝{x | m−1 ≤ x ≤ 2m+1}，B＝{x | y＝log₂(4−x) + √(x−1)}。
（1）求集合 B；（3 分）
（2）若 A ⊆ B，求实数 m 的取值范围；（5 分）
（3）若 A∩B＝∅，求实数 m 的取值范围。（5 分）

答题区（15 题）

16.（15 分）

已知函数 f(x)＝e^x−e^−x−ax 的图象在 x＝0 处的切线斜率为 0。
（1）求实数 a 的值，并判断 f(x) 的单调性；（6 分）
（2）若当 x ≥ 0 时，f(x²−2x)+f(k) ≥ 0，求实数 k 的取值范围。（9 分）

答题区（16 题）

17.（15 分）

已知函数 f(x)＝(1/2)x² − (a+1)x + a·ln x（x > 0）。
（1）讨论 f(x) 的单调性；（9 分）
（2）若 a > 1，证明：当 x > 0 时，f(x) ≤ [(a+1)/2]·(x−1)² − a − 1/2。（6 分）

答题区（17 题）

18.（17 分）

已知函数 f(x)＝a·e^x − 2x + 1（a∈ℝ）。
（1）当 a＝1 时，求曲线 y＝f(x) 在点 (0，f(0)) 处的切线方程；（4 分）
（2）若 f(x) 有且仅有一个零点，求实数 a 的取值范围；（6 分）
（3）若不等式 f(x) ≥ x − ln x 对任意 x∈[1，+∞) 恒成立，求实数 a 的取值范围。（7 分）

答题区（18 题）

19.（17 分）

已知函数 f(x)＝e^x − x − a（a∈ℝ）。
（1）讨论 f(x) 的单调区间与最小值；（5 分）
（2）讨论 f(x) 的零点个数；（5 分）
（3）若 f(x) 有两个零点 x₁，x₂（x₁ < x₂），证明：x₁+x₂ < 0。（7 分）

答题区（19 题）

数学 A 卷 · 考前终卷（答案册）

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一、单项选择题

1. C　存在量词改全称量词，条件 x>0 不变，结论取否定（"≤"的否定为">"）。
易错：A 只改结论不改量词；B 把条件也改了。

2. C　A＝(−1，3)，B＝{−1，1}，A∪B＝[−1，3)。
易错：把 −1 写成"取不到"。A 本身不含 −1，但 B 含 −1，并集左端为闭。

3. B　|x−2|<1 ⇔ 1<x<3；x²−5x+6<0 ⇔ 2<x<3。(2，3)⊂(1，3)，故后者能推出前者，反之不能，前者是后者的必要不充分条件。

4. A　由 f(x+1) 得 −1 ≤ x+1 < 3，即 −2 ≤ x < 2；由 √(4−2^x) 得 2^x ≤ 4，即 x ≤ 2。取交集得 [−2，2)。

5. A　右支递增。左支需 a−2 > 0，即 a > 2。断点处 f(1)＝a−2 ≤ log₂2＝1，即 a ≤ 3。故 2 < a ≤ 3。
易错：只写 a>2，漏掉断点处的跳跃限制。

6. A　f(1+x)＝f(5−x) ⇒ 对称轴 x＝3，即 f(x)＝f(6−x)，两边求导得 f′(x)＝−f′(6−x)。x＝2 时 f′(2)＝−f′(4)，而 4 ≥ 3，f′(4)＝2×4−6＝2，故 f′(2)＝−2。

7. A　先化简：b＝log₄9＝log₄3²＝2log₄3＝(2ln3)/(2ln2)＝log₂3＝a。再比 a 与 c：a>c ⇔ (ln3)² > 2(ln2)² ⇔ ln3 > √2·ln2 ⇔ 3 > 2^√2≈2.67，成立。故 a＝b > c。
先化出相等关系，再谈大小——这正是你连错两次的地方。

8. A　f(x)+f(−x)＝2(e^x+e^−x)+2m（奇部 2x 抵消）。需存在 x₀∈[−1，1] 使 f(x₀)+f(−x₀)＝0，即 m＝−(e^x₀+e^−x₀)。而 e^x+e^−x 在 [−1，1] 上的值域为 [2，e+1/e]，故 m∈[−(e+1/e)，−2]。

二、多项选择题

9. ABC　A：xy ≤ ((x+y)/2)²＝4 ✓。B：1/x+1/y＝(x+y)/(xy)＝4/(xy) ≥ 1 ✓。C：x²+y²＝16−2xy ≥ 8 ✓。D：由柯西不等式 (2/x+8/y)(x+y) ≥ (√2+√8)²＝18，故 2/x+8/y ≥ 9/2，最小值不是 9，D 错（取等时 x＝4/3，y＝8/3）。

10. ABC　令 x＝y＝0 得 f(0)＝f(0)²，又 f 不恒为 0，故 f(0)＝1（A 对）。f(x)＝f(x/2)² ≥ 0，若某点 f＝0 则 f 恒为 0，矛盾，故 f(x) > 0（B 对）。x 增 h>0 时 f(x+h)＝f(x)f(h) < f(x)，故递减（C 对）。而 f(x)·f(−x)＝f(0)＝1，故 f(x)+f(−x) ≥ 2 > 0，D 错。

11. ABD　f′(x)＝(2−2x−a)e^−x。A：f′ ≤ 0 对 x > 0 恒成立 ⇔ a ≥ 2−2x 对 x > 0 恒成立 ⇔ a ≥ 2 ✓。B：a＝0 时 f＝2xe^−x，f′(x)＝2(1−x)e^−x，最大值 f(1)＝2/e ✓。C：a＝2 时 f′(x)＝−2xe^−x ≤ 0，f 在 ℝ 上单调递减，方程至多一个根，C 错。D：2xe^−x ≤ 1 ⇔ 2x ≤ e^x，而 e^x ≥ 1+x+x²/2 > 2x（x>0 时），x ≤ 0 时左边非正 ✓。

三、填空题

12. 2　关于原点对称 ⇔ 奇函数。f(−x)＝−f(x) 即 (a−x)/(x+2)＝(x−2)/(x+a)，去分母得 x²−a²＝x²−4，故 a²＝4，a＝±2。a＝−2 时函数退化为 0 且定义域不对称，舍去。a＝2。

13. √2　由 log₂a+log₂b＝3 得 ab＝8。1/a+4/b ≥ 2√(4/(ab))＝2√(1/2)＝√2，取等当 1/a＝4/b 即 b＝4a，解得 a＝√2，b＝4√2（均 > 1）。

14. 3　f′(x)＝(ax²−x−2)/x²。a > 0 时 g(x)＝ax²−x−2 满足 g(0)＝−2 < 0，故存在唯一正根 x₀，f 在(0，x₀)减、(x₀，+∞)增。由 ax₀²＝x₀+2 得 a＝1/x₀+2/x₀²。令 t＝1/x₀ > 0，则 a＝t+2t²，且 f(x₀)＝1+4t+ln t ≥ 5 ⇔ 4t+ln t−4 ≥ 0，左边关于 t 递增，且 t＝1 时取 0，故 t ≥ 1。于是 a ≥ 1+2＝3。

四、解答题

15.（1）由 4−x > 0 得 x < 4；由 x−1 ≥ 0 得 x ≥ 1。故 B＝[1，4)。
（2）A ⊆ B。
　若 A＝∅，则 m−1 > 2m+1，即 m < −2，满足；
　若 A≠∅（m ≥ −2），需 m−1 ≥ 1 且 2m+1 < 4，即 m ≥ 2 且 m < 3/2，无解。
　故 m < −2，即 m∈(−∞，−2)。
（3）A∩B＝∅。
　若 A＝∅（m < −2），满足；
　若 A≠∅（m ≥ −2），需 2m+1 < 1（m < 0）或 m−1 ≥ 4（m ≥ 5），结合 m ≥ −2 得 [−2，0)∪[5，+∞)。
　合并得 m∈(−∞，0)∪[5，+∞)。

16.（1）f′(x)＝e^x+e^−x−a，f′(0)＝2−a＝0，得 a＝2。此时 f(x)＝e^x−e^−x−2x，f′(x)＝e^x+e^−x−2＝(e^x/2−e^−x/2)² ≥ 0，故 f(x) 在 ℝ 上单调递增。
（2）f(−x)＝e^−x−e^x+2x＝−f(x)，f 为奇函数。原不等式 ⇔ f(x²−2x) ≥ −f(k)＝f(−k) ⇔ x²−2x ≥ −k ⇔ k ≥ −x²+2x。而 x ≥ 0 时 −x²+2x 的最大值为 1（x＝1 处）。故 k ≥ 1，即 k∈[1，+∞)。

17.（1）f′(x)＝x−(a+1)+a/x＝[(x−1)(x−a)]/x。
　a ≤ 0：f 在(0，1)上递减，在(1，+∞)上递增；
　0 < a < 1：f 在(0，a)与(1，+∞)上递增，在(a，1)上递减；
　a＝1：f′(x)＝(x−1)²/x ≥ 0，f 在(0，+∞)上递增；
　a > 1：f 在(0，1)与(a，+∞)上递增，在(1，a)上递减。
（2）左−右＝(1/2)x²−(a+1)x+a ln x − [(a+1)/2](x−1)² + a + 1/2
　　＝(−a/2)x²+a ln x+a/2＝a[ln x − (x²−1)/2]。
　故只需证 ln x ≤ (x²−1)/2。令 g(x)＝(x²−1)/2−ln x，g′(x)＝x−1/x，g 在(0，1)减、(1，+∞)增，g(1)＝0，故 g(x) ≥ 0，即 ln x ≤ (x²−1)/2。又 a > 1 > 0，故 a[ln x − (x²−1)/2] ≤ 0，原不等式成立。

18.（1）a＝1 时 f(x)＝e^x−2x+1，f(0)＝2，f′(x)＝e^x−2，f′(0)＝−1。切线为 y＝−x+2。
（2）f(x)＝0 ⇔ a＝(2x−1)/e^x。令 g(x)＝(2x−1)e^−x，g′(x)＝(3−2x)e^−x：g 在(−∞，3/2)增、在(3/2，+∞)减，极大值 g(3/2)＝2e^−3/2；x→−∞ 时 g→−∞，x→+∞ 时 g→0⁺。f 有且仅有一个零点 ⇔ 直线 y＝a 与 y＝g(x) 恰有一个交点 ⇔ a ≤ 0 或 a＝2e^−3/2。
（3）等价于 a ≥ (3x−ln x−1)/e^x 对 x ≥ 1 恒成立。令 φ(x)＝(3x−ln x−1)e^−x，φ′(x)＝(4−3x−1/x+ln x)e^−x。记 u(x)＝ln x−3x+4−1/x，u′(x)＝(−3x²+x+1)/x² < 0（x ≥ 1），故 u 递减，u(x) ≤ u(1)＝0，于是 φ′ ≤ 0，φ 在[1，+∞)上递减，最大值 φ(1)＝2/e。故 a ≥ 2/e。

19.（1）f′(x)＝e^x−1。f 在(−∞，0)上递减、在(0，+∞)上递增，最小值 f(0)＝1−a。
（2）a < 1 时无零点；a＝1 时恰有 1 个零点（x＝0）；a > 1 时恰有 2 个零点。
（3）令 F(x)＝f(x)−f(−x)＝e^x−e^−x−2x（x < 0）。F′(x)＝e^x+e^−x−2 ≥ 0，F 在(−∞，0]上递增，F(0)＝0，故 x < 0 时 F(x) < 0，即 f(x) < f(−x)。
　取 x＝x₁ < 0（a > 1 时 x₁ < 0 < x₂），得 f(x₁) < f(−x₁)，且 −x₁ > 0。
　又 f(x₂)＝f(x₁)，而 f 在(0，+∞)上单调递增，故 x₂ < −x₁，即 x₁+x₂ < 0。

自评：第 2、4、5、7 题考的是"端点—开闭—断点—先化简"，第 15(2)、15(3) 考"空集优先"，第 19(3) 考"构造 F(x)＝f(x)−f(−x)"。这四处若全对，说明前面那批错点已经补上。